Question

已知各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₃=8，a₅=32．
（1）求a_n的表达式；
（2）若b_n=2+log₂a_n，求b₁，b₂，b₃；
（3）数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足S_n≤25的最大整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式求出首项和公比，由此能求出an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由an=2n，知b_n=2+log₂a_n=2+n，由此能求出b₁，b₂，b₃．
（3）由b_n=2+n，求出S_n=

1

2

n2+

5

2

n，由Sn=

1

2

n2+

5

2

n≤25，能求出最大整数n的值．

解答： 解：（1）∵各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₃=8，a₅=32，
∴

a1q2=8 a1q4=32 q＞0

，解得a₁=2，q=2，
∴an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）∵an=2n，
∴b_n=2+log₂a_n=2+n，
∴b₁=2+1=3，
b₂=2+2=4，
b₃=2+3=5．
（3）∵b_n=2+n，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2+

5

2

n，
由Sn=

1

2

n2+

5

2

n≤25，解得-10≤n≤5，n∈N^*，
∴最大整数n的值为5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．