Question

已知函数f（x）=|x²-2x|-a．
（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数图象的作法,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=0时，函数f（x）=|x（x-2）|的图象如图所示，由函数的图象可得f（x）的增区间和减区间．
（2）由题意可得函数f（x）的图象有4个零点，即函数y=|x²-2x|的图象和直线y=a有4个交点，结合（1）中函数的图象可得a的范围．

解答： 解：（1）当a=0时，函数f（x）=|x²-2x|=|x（x-2）|的图象如图所示：
由函数的图象可得f（x）的增区间为[0，1]、[2，+∞）；
减区间为（-∞，0）、（1，2）．
（2）若函数f（x）有4个零点，则函数f（x）的图象有4个零点，
即函数y=|x²-2x|的图象和直线y=a有4个交点，
结合（1）中函数的图象可得0＜a＜1．

点评：本题主要考查作函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．