Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC的面积S=

3

3

，b+c=4，求sinBsinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，把sinB=sin（A+C）代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，求出tan

A

2

的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，整理后把bc与b+c，以及cosA的值代入求出a的值，利用正弦定理表示出sinB与sinC，即可求出sinBsinC的值．

解答： 解：（1）已知等式acosC+

3

asinC-b-c=0，
利用正弦定理化简得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，
把sinB=sin（A+C）代入得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
整理得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
即

3

sinAsinC=sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，∴

3

sinA=cosA+1，
整理得：2

3

sin

A

2

cos

A

2

=2cos²

A

2

，即tan

A

2

=

3

3

，
∴

A

2

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）∵S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

3

，即bc=

4

3

，b+c=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-4=12，即a=2

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2 3

3 2

=4=2R，得到R=2，即sinB=

b

4

，sinC=

c

4

，
则sinBsinC=

bc

16

=

1

12

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．