Question

设函数f(x)=2cos2x-cos(2x-

π

3

)
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=

3

2

，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式变形，整理后化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域确定出求f（x）的值域即可；
（Ⅱ）由f（B+C）=

3

2

，及第一问确定出的解析式，求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-cos（2x-

π

3

）+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
则由余弦曲线可得f（x）的值域为[0，

3

2

]；
（Ⅱ）由f（B+C）=cos[2（B+C）+

π

3

]+1=

3

2

，得cos（2A-

π

3

）=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

，
把a=2，代入得：4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时取等号，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

，
则△ABC面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．