Question

19．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）
• B． a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0）
• C． $\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）
• D． $\frac{a+b}{2}≤\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$（a＞0，b＞0）

Answer 1

分析 由图形可知：OF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{a+b}{2}$，OC=$\frac{a-b}{2}$．在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．利用CF≥OC即可得出．

解答 解：由图形可知：OF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{a+b}{2}$，OC=$\frac{a-b}{2}$．
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．
∵CF≥OC，
∴$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．（a，b＞0）．
故选：D．

点评 本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．