Question

已知x＞0，y＞0，

2

x

+

1

y

=1．若x+2y＞m²-2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≥4或m≤-2
• B、-2＜m＜4
• C、m≥2或m≤-4
• D、-4＜m＜2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用“乘1法”和基本不等式的性质，x+2y＞m²-2m恒成立?m²-2m＜（x+2y）_min．即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，

2

x

+

1

y

=1．
∴x+2y=(x+2y)(

2

x

+

1

y

)=4+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=8．当且仅当x=2y=4时取等号．
若x+2y＞m²-2m恒成立，∴m²-2m＜8，即（m-4）（m+2）＜0，
解得-2＜m＜4．
∴实数m的取值范围是-2＜x＜4．
故选：B．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．