Question

已知椭圆C₁：

x2

2

+y²=1．
（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E为圆O：x²+y²=r²（r＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率k_AB与直线OE的斜率k_OE的乘积k_AB•k_OE为定值．类比圆的这个性质，写出椭圆C₁的类似性质，并加以证明；
（Ⅱ）如图（1），点B为C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
（Ⅲ）如图（2），过椭圆C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上任意一点P作C₁的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C₂上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,函数与方程的综合运用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出A，B两点的坐标，由点差法得到

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，转化为过A，B两点直线的斜率及原点与AB中点连线的斜率得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论得到过椭圆上的B的切线的斜率，写出过点B的切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再由B点在椭圆上借助于基本不等式求出三角形OCD的面积的最小值；
（Ⅲ）设出P（m，n），写出椭圆在点M（x₃，y₃）处的切线方程，代入P点的坐标，即可说明点M（x₃，y₃）在直线

x

2

m+yn=1上，同理说明点N（x₄，y₄）在直线

x

2

m+yn=1上，由此得到直线MN的方程，求得原点到MN的距离为定值说明存在定圆恒与直线MN相切．

解答： 解：（Ⅰ）若A，B为椭圆C₁：

x2

2

+y²=1上相异的两点，E（x₀，y₀）为A，B中点，
则直线AB的斜率k_AB与直线OP的斜率k_OE的乘积k_OE•k_AB必为定值；
证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，
两式作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
∵仅考虑斜率存在的情况，
∴x₀+2y₀•k_AB=0，即k_OE•k_AB=-

1

2

；
（Ⅱ）如图，

当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率k，即k•kOB=-

1

2

，k=-

x2

2y2

．
∴点B处的切线QB：y-y2=-

x2

2y2

(x-x2)，即

x2

2

x+y2y=1，
令x=0，yD=

1

y2

，令y=0，xC=

2

x2

，
∴S_△OCD=

1

2

×

2

x2y2

=

1

x2y2

．
又点B在椭圆的第一象限上，
∴x₂＞0，y₂＞0，

x22

2

+y22=1，
∴1=

x22

2

+y22≥2

x22 2 •y22

=

2

x2y2，
∴S△OCD=

1

x2y2

=

2

2

，当且仅当

x22

2

=y22，即x2=

2

y2=1时取最小值．
∴当B(1，

2

2

)时，三角形OCD的面积的最小值为

2

；
（Ⅲ）设P（m，n），由（Ⅱ）知点M（x₃，y₃）处的切线为：

x3

2

x+y3y=1．
又PM过点P（m，n），
∴

x3

2

m+y3n=1，又可理解为点M（x₃，y₃）在直线

x

2

m+yn=1上．
同理点N（x₄，y₄）在直线

x

2

m+yn=1上，
∴直线MN的方程为：

m

2

x+ny=1．

∴原点O到直线MN的距离d=

1

m2 4 +n2

=

2

2

，
∴直线MN始终与圆x2+y2=

1

2

相切．

点评：本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．考查数学综合分析问题的能力以及创新能力，是压轴题．