Question

已知两圆M：x²+y²+4x-4y-5=0和N：x²+y²-8x+4y+7=0．
（1）求证：此两圆相切，并求出切点的坐标；
（2）求过点（2，3）且与两圆相切于上述切点的圆的方程．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）根据条件求得两个圆的圆心和半径，再根据圆心距正好等于半径之和，证得两圆相切．再求得两圆的公共切线方程，直线MN的方程，联立方程组，求得切点的坐标．
（2）设所求的圆的圆心为（a，b），则根据圆和圆相切的性质求得a、b的值，可得所求的圆的方程．

解答： （1）证明：圆M：x²+y²+4x-4y-5=0，即 （x+2）²+（y-2）²=13，表示以M（-2，2）为圆心、半径等于

13

的圆．
N：x²+y²-8x+4y+7=0 即 （x-4）²+（y+2）²=13，表示以N（4，-2）为圆心、半径等于

13

的圆．
由于圆心距MN=

(4+2)2+(2+2)2

=2

13

，正好等于半径之和，故这2个圆相外切．
把两个圆的方程相减，可得两圆的公共切线方程为3x-2y-3=0，根据两圆的圆心坐标求得直线MN的方程为

y+2

2+2

=

x-4

-2-4

，即2x+3y-2=0，
 再由

3x-2y-3=0 2x+3y-2=0

 求得切点的坐标为（1，0）．
（2）解：设所求的圆的圆心为（a，b），则所求的圆的半径为r=

(a-2)2+(b-3)2

=

(a-1)2+(b-0)2

，化简可得a+3b-6=0 ①．
再根据圆和圆相切的性质可得

(a+2)2+(b-2)2

=r+

13

，

(a-4)2+(b+2)2

=r+

13

，化简可得 3a-2b-3=0 ②．
由①②求得

a= 21 11 b= 15 11

，故所求的圆的方程为 (x-

21

11

)2+(y-

15

11

)2=

325

121

．

点评：本题主要考查圆和圆相切的性质，用待定系数法求圆的方程，属于基础题．