Question

12．设0＜a≤$\frac{5}{4}$，若满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，亦满足不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得b＞0，求出这两个不等式的解集，由题意可得 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．由此可得b小于或等于-a²+a+$\frac{1}{2}$的最小值，且b小于或等于 a²-a+$\frac{1}{2}$的最小值，由此求得实数b的取值范围．

解答 解：解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式|x-a²|＜$\frac{1}{2}$得，-$\frac{1}{2}$＜x-a²＜$\frac{1}{2}$，即 a²-$\frac{1}{2}$＜x＜a²+$\frac{1}{2}$．
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a²-$\frac{1}{2}$≤a-b，且 a+b≤a²+$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{5}{4}$．
化简可得 b≤-a²+a+$\frac{1}{2}$，且b≤a²-a+$\frac{1}{2}$．
由于-a²+a+$\frac{1}{2}$=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{3}{4}$]，故 b≤$\frac{3}{16}$．
由于 a²-a+$\frac{1}{2}$=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{16}$]．故 b≤$\frac{1}{4}$．
综上可得 0＜b≤$\frac{3}{16}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，求二次函数在闭区间上的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．