Question

17．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1且a_n，a_n+1是函数f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的两个零点，则b₈=（　　）

• A． 24
• B． 32
• C． 48
• D． 64

Answer 1

分析 由根与系数关系得到a_n•a_n+1=2ⁿ，取n=n+1后再得一式，两式相除，可得数列{a_n}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，求出a₈，a₉后，可求b₈．

解答 解：由已知得，a_n•a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1•a_n+2=2ⁿ⁺¹，
两式相除得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．
∴a₁，a₃，a₅，…成等比数列，a₂，a₄，a₆，…成等比数列．
而a₁=1，a₂=2，
∴a₁₀=2×2³=16，a₉=1×2⁴=16，
又a_n+a_n+1=b_n，所以b₈=a₈+a₉=32．
故选B．

点评 本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力，是中档题．