Question

14．已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），求出它的最小正周期；
（2）由$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期为
$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）由$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$得$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
又正弦函数y=sinx在$[\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}]$是减函数，
所以当$2x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$时f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）值最大，最大值为1；
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$时f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）值最小，最小值为-1．

点评 本题考查了三角函数的化简与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．