Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

100

+

y2

64

=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）求PF₁•PF₂的最大值．
（2）若∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义，结合基本不等式，求出PF₁•PF₂的最大值；
（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理和正弦定理求出△F₁PF₂的面积．

解答： 解：（1）在椭圆

x2

100

+

y2

64

=1中，a=10，
根据椭圆的定义得PF₁+PF₂=20，
∵PF₁+PF₂≥2

PF1•PF2

，
∴PF₁•PF₂≤（

PF1+PF2

2

）²=（

20

2

）²=100，
当且仅当PF₁=PF₂=10时，等号成立；
∴PF₁•PF₂的最大值为100； …（4分）
（2）设PF₁=m，PF₂=n（m＞0，n＞0），
根据椭圆的定义得m+n=20；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得PF

2 1

+PF

2 2

-2PF₁•PF₂•cos∠F₁PF₂=F₁F

2 2

，
即m²+n²-2mn•cos

π

3

=12²；
∴m²+n²-mn=144，即（m+n）²-3mn=144；
∴20²-3mn=144，即mn=

256

3

；
又∵S△F₁PF₂=

1

2

PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

mn•sin

π

3

，
∴S△F₁PF₂=

1

2

×

256

3

×

3

2

=

64 3

3

．…（10分）

点评：本题考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．