Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a²+1，x∈[0，1]，若g（a）为f（x）最小值．
（1）求g（a）；
（2）当g（a）=5时，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件利用二次函数的性质，分对称轴在区间[0，1]的左侧、中间、由侧三种情况，分别求得函数的最小值．
（2）分当a＜0时、当a＞1时两种情况，分别根据g（a）的解析式以及g（a）=5，求得a的值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x²-2ax+a²+1=（x-a）²+1，x∈[0，1]，
故当a＜0时，f（x）的最小值g（a）=f（0）=a²+1；
当0≤a≤1时，f（x）的最小值g（a）=f（a）=1；
当a＞1时，f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²-2a+2．
综上可得，g（a）=

a2+1，a＜0 1，0≤a≤1 a2-2a+2，a＞1

．
（2）当a＜0时，由g（a）=5=a²+1，求得a=-2．
当a＞1时，由a²-2a+2=5，求得a=3．
综上可得，a=-2，或 a=3．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．