Question

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当t=2时，求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的定义域及其求法

专题：计算题,存在型,数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由x²+2x+1＞0即可得到f（x）的定义域为{x|x≠-1，且x∈R}；
（2）令g（x）=x²+tx+1，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论①-

t

2

≤0②0＜-

t

2

＜2③-

t

2

≥2；
（3）假设存在，则由已知得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b 0＜a，b＜2 a≠b

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
分离参数，得t=-（

1

x

+x）+1，x∈（0，2），运用导数求出右边的最值和范围，结合图象即可判断．

解答： 解：（1）当t=2时，f（x）=lg（x²+2x+1），
x²+2x+1＞0⇒f（x）的定义域为{x|x≠-1，且x∈R}；
（2）令g（x）=x²+tx+1对称轴为x=-

t

2

，
①当-

t

2

≤0，即t≥0时，g（x）_min=g（0）=1∴f（x）_min=0
②当0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0时，g（x）_min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，考虑到g（x）＞0，则
1°-2＜t＜0，f（x）_min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

），
2°-4＜t≤-2，没有最小值．
③当-

t

2

≥2，即t≤-4时，g（x）_min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时f（x）=

lg(1- t2 4 )，-2＜t＜0 0，t≥0

．
（3）假设存在，则由已知得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b 0＜a，b＜2 a≠b

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
等价于t=-（

1

x

+x）+1，x∈（0，2），
t′=-1+

1

x2

，x∈（0，1），t′＞0；x∈（1，2），t′＜0．
x=1取最大值-1．x=2，t=-

3

2

．
可得-

3

2

＜t＜-1．
故存在，实数t的取值范围是（-

3

2

，-1）．

点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用，本题的综合性比较强．