题目内容
已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+
bn=1．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=an•bn，设{cn}的前n项和Sn，求证：Sn＜4．
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（Ⅰ）求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=an•bn，设{cn}的前n项和Sn，求证：Sn＜4．
考点：数列的求和,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）当n=1时，b1=
，当n≥2时，bn=
bn-1，由此能证明{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列．
（Ⅱ）bn=
•(
)-1=2•(
)n，an=2+4（n-1）=4n-2，从而cn=an•bn=(8n-4)•(
)n，由此利用错位相减法能证明Sn＜4．
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（Ⅱ）bn=
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解答：
（Ⅰ）证明：当n=1时，b1=T1，
由T1+
b1=1，解得b1=
，
当n≥2时，∵Tn=1-
bn，Tn-1=1-
bn-1，
∴bn=Tn-Tn-1=
(bn-1-bn)，
∴bn=
bn-1，
∴{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn=
•(
)-1=2•(
)n，
∵数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18，
∴
，解得a1=2，d=4，
∴an=2+4（n-1）=4n-2，
∴cn=an•bn=(8n-4)•(
)n，
∴Sn=4×(
)+12×(
)2+…+(8n-4)×(
)n，①
Sn=4×(
)2+12×(
)3+…+(8n-4)×(
)n+1，②
①-②，得：
Sn=4×
+8×(
)2+8×(
)3+…+8×(
)n-(8n-4)×(
)n+1
=
+8×
-(8n-4)×(
)n+1，
∴Sn=4-4(n+1)•(
)n，
∵4(n+1)•(
)n＞0，
∴Sn＜4．
由T1+
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当n≥2时，∵Tn=1-
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∴bn=Tn-Tn-1=
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∴bn=
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∴{bn}是以
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（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn=
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∵数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18，
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∴an=2+4（n-1）=4n-2，
∴cn=an•bn=(8n-4)•(
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∴Sn=4×(
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①-②，得：
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(
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∴Sn=4-4(n+1)•(
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∵4(n+1)•(
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∴Sn＜4．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和小于4的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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