题目内容
已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量
=（4cos2
，1），
=（1，2sin2
-3）．若
⊥
，求tanA•tanB的值．
| a |
| A+B |
| 2 |
| b |
| A-B |
| 2 |
| a |
| b |
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：根据
⊥
建立方程关系，利用余弦的倍角公式，即可得到结论．
| a |
| b |
解答：
解：∵向量
=（4cos2
，1），
=（1，2sin2
-3），
⊥
，
∴
•
=0，
即4cos2
+2sin2
-3=0，
∴2+2cos（A+B）+1-cos（A-B）-3=0，
即2cos（A+B）=cos（A-B），
∴2cosAcosB-2sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，
即cosAcosB=3sinAsinB，
∴tanA•tanB=
=
．
| a |
| A+B |
| 2 |
| b |
| A-B |
| 2 |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
即4cos2
| A+B |
| 2 |
| A-B |
| 2 |
∴2+2cos（A+B）+1-cos（A-B）-3=0，
即2cos（A+B）=cos（A-B），
∴2cosAcosB-2sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，
即cosAcosB=3sinAsinB，
∴tanA•tanB=
| sinAsinB |
| cosAcosB |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式和余弦的倍角公式将条件化简是解决本题的关键．
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