Question

在△ABC中，AD为BC边上的高，已知：AC=b；AB=c，AD=BC，求

b

c

+

c

b

的最大值．

Answer 1

考点：解三角形

专题：解三角形

分析：由三角形的面积公式可得

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，即a²=bcsin∠BAC．在△ABC中，利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．即可得出

b

c

+

c

b

用∠BAC表示，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵AD⊥BC，AD=BC=a．
∴

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，
∴a²=bcsin∠BAC，
在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．
∴bcsin∠BAC=b²+c²-2bccos∠BAC，
化为

b2+c2

bc

=sin∠BAC+2cos∠BAC，
令∠BAC=θ，θ∈（0，π）．
则

b

c

+

c

b

=sinθ+2cosθ=

5

sin(θ+φ)，其中φ=arctan2．
当sin（θ+φ）=1时，

b

c

+

c

b

取得最大值

5

．

点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．