Question

已知函数f（x）=x+

2

x-a

，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）当a=1时，判断函数f（x）在（1，

2

]上的单调性，并用定义证明你的结论；
（Ⅲ）证明：当θ∈（0，

π

2

）时，sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

的最小值为3

2

+2．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）为奇函数，得f（-x）+f（x）=0，求出a的值；
（Ⅱ）a=1时，函数f（x）=x+

2

x-1

在（1，

2

]上是减函数，用定义证明即可；
（Ⅲ）构造函数，设sinθ+cosθ=t，则1＜t≤

2

，sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

=t+

2

t-1

；
由f（t）=t+

2

t-1

在区间（1，

2

]上的单调性，求出f（t）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+

2

x-a

为奇函数，其中a∈R；
∴f（-x）+f（x）=（-x+

2

-x-a

）+（x+

2

x-a

）=0，
∴

2

x+a

=

2

x-a

，
∴a=0；
（Ⅱ）a=1时，函数f（x）=x+

2

x-1

在（1，

2

]上是减函数，
用定义证明x₁、x₂∈（1，

2

]，且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

2

x1-1

）-（x₂+

2

x2-1

）
=（x₁-x₂）[1-

2

(x1-1)(x2-1)

]，
∵1＜x₁＜x₂≤

2

，∴x₁-x₂＜0；
∴（x₁-1）（x₂-1）＜(

2

)2-1=1，
∴1-

2

(x1-1)(x2-1)

＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是减函数；
（Ⅲ）证明：设sinθ+cosθ=t，∴t=

2

sin（θ+

π

4

），
当θ∈（0，

π

2

）时，

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，∴1＜t≤

2

；
∵t²=1-2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

；
∴sinθ+cosθ+

1+sinθ+cosθ

sinθcosθ

=t+

1+t

t2-1 2

=t+

2

t-1

；
又∵f（t）=t+

2

t-1

在区间（1，

2

]上是减函数，
∴当t=

2

时，f（t）取得最小值为3

2

+2．

点评：本题考查了函数的奇偶性，单调性的证明以及应用问题，解题时用定义来证明函数的单调性，应用构造函数的方法，结合函数的单调性求最值问题，是综合题．