题目内容

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；
（Ⅱ）求二面角A-BB1-C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出A1O⊥BC，从而得到BC⊥平面A1ACC1，进而得到AC1⊥BC，再由AA1=AC，得到AC1⊥A1C，由此能证明A1B⊥AC1．
（Ⅱ）以OC为单位长度，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BB1-C的余弦值．
解答： 解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，
所以AC1⊥BC．…（2分）
因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，
所以AC1⊥A1C．
所以AC1⊥平面A1BC，
所以A1B⊥AC1．…（5分）
（Ⅱ）以OC为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），C1（0，2，
3
）．
AB
=（2，2，0），
BB1
=
CC1
=（0，1，
3
），
设
 
=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，
则
m
•
AB
=0，
m
•
BB1
=0，
即
2x+2y=0
y+
3
z=0
，取x=
3
，得
m
=（
3
，-
3
，1）．
同理面CBC1的一个法向量为
n
=（0，-
3
，1）．…（10分）
因为cos＜
m
，
n
＞=
2
7
7
．
所以二面角A-BB1-C的余弦值
2
7
7
．…（12分）
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x+
2
x-a
，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）当a=1时，判断函数f（x）在（1，
2
]上的单调性，并用定义证明你的结论；
（Ⅲ）证明：当θ∈（0，
π
2
）时，sinθ+cosθ+
1+sinθ+cosθ
sinθcosθ
的最小值为3
2
+2．
正方体AC1中AB=2，E为BB1的中点．
（1）请在线段DD1上确定一点F使A，E，C1，F四点共面，并加以证明；
（2）求二面角C-AC1-E的平面角α的余弦值；
（3）点M在面ABCD内，且点M在平面AEC1F上的射影恰为△AEC1的重心，求异面直线AC与MC1所成角的余弦值．
用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的六位数：
（1）若0与1之间恰有两个数，则这样的六位数有多少个？
（2）若1不在个位，则这样的六位数有多少个？
（3）若这个六位数中的偶数数字从左向右从小到大排列，则这样的六位数有多少个？
已知
a
=（sinωx，
3
sinωx），
b
=（sinωx，sin（
π
2
+ωx）），（ω＞0），f（x）=
a
•
b
-
1
2
且f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α）=
4
5
（
π
3
≤a≤
7
12
π），求sin2α值；
（Ⅲ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=-
π
2
对称，且方程g（x）-k=0在区间[-
3
2
π，-π]上有解，求k的取值范围．
已知变量x，y满足
x-y≤1
2x+y≤5
x≥1
．
（1）画出不等式组表示的平面区域．
（2）设z=3x+y，求z的最大值及相应点的坐标．
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
3
c=2bsinC
（Ⅰ）试确定角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=
3
，求a+c的最大值．
10个位置，现在6个人来坐，若A、B相邻，C、D相邻，E、F相邻，则共有不同的坐法
 
种．
若sinαcosβ=1，（cosα-2）（sinβ+2）=k，则抛物线y=kx2的焦点坐标为
 
．

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