题目内容
f（x）=lg
，定义域[-9，9]，在定义域内为奇函数，a∈R，
（1）求a的值；
（2）判断f（x）单调性并证明．
| a-x |
| 10+x |
（1）求a的值；
（2）判断f（x）单调性并证明．
考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a的值．
（2）利用函数单调性的定义判断，先利用作差法证明对应真数的大小，根据对数函数的单调性得f（x1）与f（x2）的大小，即可得在定义域上的单调性．
（2）利用函数单调性的定义判断，先利用作差法证明对应真数的大小，根据对数函数的单调性得f（x1）与f（x2）的大小，即可得在定义域上的单调性．
解答：
解：（1）因为f（x）=lg
在定义域[-9，9]为奇函数，
所以f（0）=lg
=0，解得a=10，
则a的值是10；
（2）由（1）得，f(x)=lg
，定义域为[-9，9]，
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈[-9，9]，且x1＜x2，
则
-
=
=
因为-9≤x1＜x2≤9，所以x2-x1＞0，
则
＞0，所以
＞
，
因为函数y=lgx在定义域上递增，所以lg
＞lg
，
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在定义域[-9，9]上单调递减．
| a-x |
| 10+x |
所以f（0）=lg
| a |
| 10 |
则a的值是10；
（2）由（1）得，f(x)=lg
| 10-x |
| 10+x |
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈[-9，9]，且x1＜x2，
则
| 10-x1 |
| 10+x1 |
| 10-x2 |
| 10+x2 |
| (10-x1)(10+x2)-(10-x2)(10+x1) |
| (10+x1)(10+x2) |
=
| 20(x2-x1) |
| (10+x1)(10+x2) |
因为-9≤x1＜x2≤9，所以x2-x1＞0，
则
| 20(x2-x1) |
| (10+x1)(10+x2) |
| 10-x1 |
| 10+x1 |
| 10-x2 |
| 10+x2 |
因为函数y=lgx在定义域上递增，所以lg
| 10-x1 |
| 10+x1 |
| 10-x2 |
| 10+x2 |
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在定义域[-9，9]上单调递减．
点评：本题考查奇函数的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，化简时需要注意应先比较真数的大小，才能得到f（x1）与f（x2）的大小，计算量大，属中档题．
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