Question

从椭圆上一点A看椭圆的两焦点F₁，F₂的视角为直角，AF₁的延长线交椭圆于点B，且AB=AF₂，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作图辅助图象，设AB=AF₂=m，表示出图中的线段长，利用勾股定理解出m，反代入求椭圆的离心率．

解答： 解：如右图：设AB=AF₂=m，
则AF₁=2a-m，F₁B=m-（2a-m）=2（m-a），F₂B=2a-F₁B=4a-2m，
则在Rt△AF₁F₂中，AF²₁+AF²₂=F₁F²₂，即m²+（2a-m）²=（2c）²，
同理，在Rt△ABF₂中，2m²=（4a-2m）²，
解得，m=

2 6

3

c，
则（1+

2

）

2 6

3

c=2

2

a，
从而e=

c

a

=

3

2 +1

=

6

-

3

．
故答案为：

6

-

3

．

点评：本题考查了数形结合的数学思想，同时考查了椭圆的定义，属于基础题．