Question

已知函数f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：解三角形

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据最小正周期求出ω的值，确定出解析式，利用正弦函数的单调性即可求出f（x）的递增区间；
（2）由f（A）=1，以及确定出的f（x）解析式求出A的度数，利用三角形的面积公式列出关系式，把b，sinA的值代入求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵函数f（x）的最小正周期为π，且＞0，
∴

2π

2ω

=π，即ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由f（A）=1，得到sin（2A+

π

6

）+

1

2

=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A为三角形内角，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，b=1，sinA=

3

2

，
∴c=2，
则由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2=3，即a=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．