题目内容
已知pa3=qb3=rc3，
+
+
=1，求证：(pa2+qb2+rc2)
=p
+q
+r
．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
考点：平均值不等式在函数极值中的应用
专题：证明题
分析：设pa3=qb3=rc3=k，则有pa2+qb2+rc2=
+
+
=k，又p=
，q=
，r=
，则p
+q
+r
=
+
+
=k
，比较左右两边，即可得证．
| k |
| a |
| k |
| b |
| k |
| c |
| k |
| a3 |
| k |
| b3 |
| k |
| c3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
k
| ||
| a |
k
| ||
| b |
k
| ||
| c |
| 1 |
| 3 |
解答：
证明：设pa3=qb3=rc3=k，
则pa2=
，qb2=
，rc2=
，
则有pa2+qb2+rc2=
+
+
，
由于
+
+
=1，
则pa2+qb2+rc2=k，
又p=
，q=
，r=
，
则p
+q
+r
=
+
+
=k
，
故有(pa2+qb2+rc2)
=p
+q
+r
．
则pa2=
| k |
| a |
| k |
| b |
| k |
| c |
则有pa2+qb2+rc2=
| k |
| a |
| k |
| b |
| k |
| c |
由于
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
则pa2+qb2+rc2=k，
又p=
| k |
| a3 |
| k |
| b3 |
| k |
| c3 |
则p
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
k
| ||
| a |
k
| ||
| b |
k
| ||
| c |
| 1 |
| 3 |
故有(pa2+qb2+rc2)
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查恒等式的证明，考查运用换元法证明等式，注意连等式通常运用换元法，考查推理能力，属于中档题．
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