Question

数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），设S_n为{b_n}的前n项和．若a₁₂=

3

8

a₅＞0，则当S_n取得最大值时n的值等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据等差数列的通项公式，以及数列的递推关系，即可得到结论．

解答： 解：设{a_n}的公差为d，由a₁₂=

3

8

a₅＞0得 a₁=-

76

5

d，a₁₂＜a₅，
即d＜0，
所以a_n=（n-

81

5

）d，
从而可知1≤n≤16时，a_n＞0，n≥17时，a_n＜0．
从而b₁＞b₂＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈＞…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，
故S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆．
因为a₁₅=-

6

5

d＞0，a₁₈=

9

5

d＜0，
所以a₁₅+a₁₈=-

6

5

d+

9

5

d=

4

5

d＜0，
所以b₁₅+b₁₆=a₁₆a₁₇（a₁₅+a₁₈）＞0，
所以S₁₆＞S₁₄，故S_n中S₁₆最大．
故答案为：16

点评：本题主要考查利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前n项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．