Question

若函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-m在[0，

π

2

]上有零点，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，要使f（x）在[0，

π

2

]上有零点，需f（x）=0，进而得出

2

sin（2x+

π

4

）=m-2，利用x的范围求得m的范围．

解答： 解：f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-m
=1+2sinxcosx+2cos²x-m
=sin2x+cos2x+2-m
=

2

sin（2x+

π

4

）+2-m，
要使f（x）在[0，

π

2

]上有零点，需f（x）=0，
即

2

sin（2x+

π

4

）+2-m=0
∴

2

sin（2x+

π

4

）=m-2，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-1≤m-2≤

2

，
∴1≤m≤2+

2

，
故答案为：[1，2+

2

]

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题的过程中注意数形结合思想和整体还原思想的应用．