题目内容
已知α、β为锐角，且x（α+β-
）＞0，若不等式（
）x＜m-（
）x对一切非零实数x都成立，则实数m的取值范围为 ．
| π |
| 2 |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
考点：基本不等式
专题：函数的性质及应用
分析：本题先对角α、β进行研究，得到它们的正弦值和余弦值的大小关系，可知对数式的底数与1的大小关系，再将恒成立的不等式进行参变量分离，利用相应函数在区间上的单调性，求出m的取值范围，即得到本题结论．
解答：
解：∵x（α+β-
）＞0，
∴（1）当x＞0时，
α+β＞
，α＞
-β，
∵α、β为锐角，
∴sinα＞sin(
-β)，
即sinα＞cosβ＞0，0＜
＜1．
同理0＜
＜1．
∵（
）x＜m-（
）x
∴m＞(
)x+(
)x，
∵(
)x+(
)x为（0，+∞）上的减函数，
∴(
)x+(
)x＜2，
∴m≥2．
（2）当x＜0时，
α+β＜
，α＜
-β
∵α、β为锐角，
∴sinα＜sin(
-β)，
即0＜sinα＜cosβ，
＞1．
同理
＞1．．
∵（
）x＜m-（
）x
∴m＞(
)x+(
)x，
∵(
)x+(
)x为（-∞，0）上的增函数，
∴(
)x+(
)x＜2，
∴m≥2．
由（1）（2）知：m≥2．
故答案为：[2，+∞）
| π |
| 2 |
∴（1）当x＞0时，
α+β＞
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∵α、β为锐角，
∴sinα＞sin(
| π |
| 2 |
即sinα＞cosβ＞0，0＜
| cosβ |
| sinα |
同理0＜
| cosα |
| sinβ |
∵（
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∴m＞(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∵(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∴(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| cosα |
∴m≥2．
（2）当x＜0时，
α+β＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∵α、β为锐角，
∴sinα＜sin(
| π |
| 2 |
即0＜sinα＜cosβ，
| cosβ |
| sinα |
同理
| cosα |
| sinβ |
∵（
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∴m＞(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∵(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∴(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| cosα |
∴m≥2．
由（1）（2）知：m≥2．
故答案为：[2，+∞）
点评：本题考查了三角函数的单调性、对数函数的单调性，还考查了化归转化、分类讨论的数学思想，本题有一定的思维难度，运算量也较大，属于难题．
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