Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为AA₁的中点，O为BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD；
（Ⅲ）设P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上一点，给出满足条件OP=

2

的点P的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为 A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，利用面面垂直的性质推断出平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．因 为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，进而可知 AE∥DD₁，且AE=

1

2

DD₁，且G是BD的中点，又因为O是BD₁的中点，
所以 OG∥DD₁，且OG=

1

2

DD₁，所以 OG∥AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又因为 EO?平面ABCD，AG?平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．
（Ⅲ）解：因根据ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，AA₁=2，所以 求得AC=，所以求得 OE=AG．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为 AA₁⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
判断出 AA₁⊥AG，又因为 EO∥AG，所以 AA₁⊥OE，则点O到棱AA₁的距离为，所以在棱AA₁上有且只有一个点（即中点E）到点O的距离等于，同理，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁每条棱的中点到点的距离都等于，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的点P有12个．所以在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的点P有12个．

解答： （Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，
∴平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）证明：连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AE∥DD₁，且AE=

1

2

DD₁，且G是BD的中点，
又因为O是BD₁的中点，
∴OG∥DD₁，且OG=

1

2

DD₁，
∴OG∥AE，且OG=AE，
即四边形AGOE是平行四边形，
所以OE∥AG，
又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以EO∥平面ABCD．
（Ⅲ）解：满足条件OP=

2

的点P有12个．
理由如下：
因为 ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，AA₁=2，
所以 AC=2

2

．
所以 OE=AG=

1

2

AC=

2

．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因为 AA₁⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以 AA₁⊥AG，
又因为 EO∥AG，
所以 AA₁⊥OE，
则点O到棱AA₁的距离为

2

，
所以在棱AA₁上有且只有一个点（即中点E）到点O的距离等于

2

，
同理，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁每条棱的中点到点的距离都等于

2

，
所以在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱上使得OP=

2

的点P有12个．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．