Question

10．设α为锐角，若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，则sin（2α+$\frac{π}{12}}$）的值为$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 根据α为锐角，cos（α+$\frac{π}{6}$）为正数，可得α+$\frac{π}{6}$是锐角，利用平方关系可得sin（α+$\frac{π}{6}$）．接下来配角，得到cosα，sinα，再用二倍角公式可得sin2α，cos2α，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+$\frac{π}{12}}$）的值即可．

解答 解：：因为α为锐角，cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$为正数，可得α+$\frac{π}{6}$是锐角，
所以sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以cosα=cos（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos $\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin $\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
sinα=sin（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos $\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin $\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
由此可得sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$；cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{4+\sqrt{3}}{8}$．
sin$\frac{π}{12}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．cos$\frac{π}{12}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
所以sin（2α+$\frac{π}{12}}$）=sin2αcos $\frac{π}{12}}$+cos2αsin $\frac{π}{12}}$=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．
故答案是：$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．