Question

19．已知函数f（x）=e^x-$\frac{3}{2}$x²-ax．
（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=3x+b，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，得到f（x）的解析式，求出b的值即可；
（2）问题转化为a≤e^x-3x恒成立，设h（x）=e^x-3x，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最大值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-3x-a，∴f′（0）=1-a，
由题意得：1-a=3，解得：a=-2，
∴$f（x）={e^x}-\frac{3}{2}{x^2}+2x$，∴f（0）=1，
于是1=3×0+b，解得b=1；
（2）由题意f'（x）≥0即e^x-3x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-3x恒成立，设h（x）=e^x-3x，
则h'（x）=e^x-3，令h'（x）=e^x-3=0，得x=ln3，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，ln3）	ln3	（ln3，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	减函数	极小值	增函数

∴h（x）_min=h（ln3）=3-3ln3，
∴a≤3-3ln3，∴a的最大值为3-3ln3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．