Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=$\frac{2x}{x-1}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当x＞0时，-x＜0，运用已知解析式，结合奇函数的定义，可得x＞0的解析式，进而得到所求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）首先运用定义判断f（x）在[2，6]的单调递减，可得f（x）在[2，6]的最值．

解答 解：（Ⅰ）当x＞0时，-x＜0，f（-x）=$\frac{-2x}{-x-1}$=$\frac{2x}{x+1}$，
由函数f（x）是定义在R上的奇函数，
可得f（x）=-f（-x）=-$\frac{2x}{x+1}$，x＞0．
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{\frac{2x}{x-1}，x≤0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）设x∈[2，6]，f（x）=-$\frac{2x}{x+1}$=-2+$\frac{2}{x+1}$，
设2≤x₁＜x₂≤6，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1+{x}_{1}}$-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[2，6]递减，
则f（x）在[2，6]的最大值为f（2）=-$\frac{4}{3}$，最小值为f（6）=-$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查化简整理的运算能力，注意定义法的运用，属于中档题．