Question

4．已知二项式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：
（1）求n的值；
（2）展开式中的第七项．

Answer 1

分析 （1）由二项式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ展开式中前三项的二项系数和列出方程求出n的值；
（2）根据二项式展开式的通项公式即可求出结果．

解答 解：（1）由二项式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ展开式中前三项的二项系数和是56，
即$C_n^0+C_n^1+C_n^2=56$，
∴1+n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=56，
化简得n²+n-110=0，
解得n=10或n=-11（舍去），
n的值是10；…（6分）
（2）由二项式（x²+$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）¹⁰展开式的第七项为
${T_7}={T_{6+1}}=C_{10}^6{（{x^2}）^4}{（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^6}=\frac{105}{32}{x^5}$．…（12分）

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．