Question

19．已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 利用换元法将不等式组进行转化，然后利用线性规划的知识结合导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可．

解答 解：∵5c-3a≤b≤4c-a，
∴5-3•$\frac{a}{c}$≤$\frac{b}{c}$≤4-$\frac{a}{c}$，即3•$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$≥5，$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$≤4，
∵clnb≥a+clnc，
∴cln$\frac{b}{c}$≥a，即$\frac{b}{c}$≥e${\;}^{\frac{a}{c}}$，
设$\frac{a}{c}$=x，$\frac{b}{c}$=y，
则不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≥5}\\{x+y≤4}\\{y≥{e}^{x}}\end{array}\right.$，$\frac{b}{a}$=$\frac{y}{x}$，则$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知当直线y=kx与y=e^x相切时，k最小，
函数的导数f′（x）=e^x，设切点为（a，b），则过原点的切线方程为y-b=e^a（x-a），
即y=e^ax-ae^a+e^a，
∵切线过原点，
∴0=e^a（1-a），则1-a=0，a=1，此时k=e，
OA的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=5}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
则OA的斜率k=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}$=7，
即e≤k≤7，
即$\frac{b}{a}$的取值范围是[e，7]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用换元法将不等式组转化为线性规划问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．