已知一个由11人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲.乙两名候选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选.每位委员投票不受他人影响．投票结果由一人唱票.一人统计投票结果．(Ⅰ)设:在唱到第k张票时.甲.乙两人的得票数分别为xk.yk.N(k)=xk-yk.k=1.2.-.11．若下图为根据一次唱票过程绘制的N(k)图.则根� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

已知一个由11人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候选人中选出一人参加一次活动．投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响．投票结果由一人唱票，一人统计投票结果．
（Ⅰ）设：在唱到第k张票时，甲，乙两人的得票数分别为x_k，y_k，N（k）=x_k-y_k，k=1，2，…，11．若下图为根据一次唱票过程绘制的N（k）图，
则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁？y₇的值为多少？图中点P提供了什么投票信息？
（Ⅱ）设事件A为“候选人甲比乙恰多3票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为$\frac{1}{2}$，则事件A发生的概率为多少？
（Ⅲ）若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙3票胜出．则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况的概率是多少？

分析（Ⅰ）因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数，故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙，由此能求出结果．
（Ⅱ）若事件A“候选人甲比乙恰多3票胜出”发生，由甲乙得票共11张，故甲得7票，乙得4票，由每位委员投票不受他人影响，且每人投甲的概率为$\frac{1}{2}$，能求出事件A发生的概率．
（Ⅲ）设事件B为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况”，根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能．由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为7高于乙的得票数4，故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，由此能求出事件B的概率．

解答解：（Ⅰ）因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数
故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙
故甲胜出（本结论可由第11个点的位置马上就可判断甲赢，如果最后一个点在横轴下，则乙赢），
y₇=4（从图上看第7个点在上升段，应是甲得一票，而之前的下降段，从第二点算起共4个点，故都是乙得票）
图中点P从位置上看意味着x₄-y₄=0，即甲乙第4轮唱票后得票数相同．（答案为各得2票也正确）．
（Ⅱ）若事件A“候选人甲比乙恰多3票胜出”发生，
由甲乙得票共11张，故甲得7票，乙得4票，
因每位委员投票不受他人影响，且每人投甲的概率为$\frac{1}{2}$，
故事件A发生的概率$p（A）=C_{11}^4{（\frac{1}{2}）^7}{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{165}{1024}$．
（Ⅲ）设事件B为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况”，
根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能．
由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为7高于乙的得票数4，
故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，
即出现两人得票相等的情况，这样的点图一共有$C_{11-1}^{4-1}=C_{10}^3$种（即10位评委里再选3位投给乙）
当第一张选票为甲时，散点图可能有点在横轴上，也可能无点在横轴上，如下图所示的两种投票可能：

而图二的每一种情况对于第一张选票为乙时的情况一一对应，（最后一次票数相等前图形关于横轴对称，最后一次票数相等后图形重合）
故当第一张选票为甲时出现两人得票相等情况的点图同样为$C_{10}^3$种
而所有与唱票情况对应的散点图共$C_{11}^4$种
故事件B的概率为$p（B）=\frac{{2C_{10}^3}}{{C_{11}^4}}=\frac{8}{11}$．