Question

某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个丌学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）将Y表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润Y不少于4800元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X[100，120），则取X=110，且X=110的概率等于需求量落入[100，120）的频率），求Y的数学期望．

Answer 1

考点：分段函数的应用,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据分段函数的表达式，即可将Y表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图求出Y不少于4800元取值范围．即可得到结论；
（Ⅲ）求出利润的分布列，根据均值的公式即可得到结论．

解答： 解：（ I）当100≤X≤160时，Y=80X-4800，
当160≤X≤200时，Y=8000，
则Y=

80X-4800 100≤X≤160 8000 160≤X≤200

．
（ II）由80X-4800≥4800，解得120≤X≤160，
当160≤X≤200时，Y=8000也满足条件，
综上X≥120，
∴由直方图可知，P（X≥120）=0.9．
（ III）根据题意得 获得利润Y的分布列是

Y	4000	5600	7200	8000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以数学期望为E（Y）=4000×0.1+5600×0.2+7200×0.3+8000×0.4=6880（元）．

点评：本题主要考查分段函数以及频率分布直方图的应用，综合性较强．