Question

设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;

(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.

Answer 1

解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.

(2)是定值.解法如下:设圆心M,

半径r=,

圆的方程为+(y-a)2=a2+,

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),

∴BD=2,即弦长BD为定值.

(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),

由得k2x2-(k2+2)x+=0,

∴x1+x2=1+,x1x2=,

∴|GH|=·=2+,

同理得|RS|=2+2k2.

S四边形GRHS=(2+2k2)=2≥8(当且仅当k=±1时取等号).

∴四边形GRHS面积的最小值为8.