Question

12．已知函数f（x）=x³-ax²+10．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）在区间[1，2]内存在实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，可得切线斜率，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）由已知得$a＞\frac{{{x^3}+10}}{x^2}=x+\frac{10}{x^2}$，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=3x²-2x，f（2）=14，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=f'（2）=8，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-14=8（x-2），即8x-y-2=0．
（2）由已知得$a＞\frac{{{x^3}+10}}{x^2}=x+\frac{10}{x^2}$，设$g（x）=x+\frac{10}{x^2}$（1≤x≤2），$g'（x）=1-\frac{20}{x^3}$，
∵1≤x≤2，∴g'（x）＜0，∴g（x）在[1，2]上是减函数，$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{9}{2}$，
∴$a＞\frac{9}{2}$，即实数a的取值范围是$（\frac{9}{2}，+∞）$．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．