Question

4．如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．
（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=$\frac{π}{3}$，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．

Answer 1

分析 （1）由题意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；
（2）△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ysinθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，可将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．

解答 解：（1）由题意，BD=300，BE=100，
△ABC中，cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，
△BDE中，由余弦定理可得DE=$\sqrt{30{0}^{2}+10{0}^{2}-2•300•100•\frac{1}{2}}$=100$\sqrt{7}$m；
（2）由题意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．
△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ
△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ycosθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，
∴y=$\frac{100\sqrt{3}}{sinθ+\sqrt{3}cosθ}$=$\frac{50\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，y_min=50$\sqrt{3}$m．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．