Question

2．已知函数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的定义域为R，求m的取值范围
（3）若f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的值域为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数g（x）的定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x-1＜2}\\{-2＜3-2x＜2}\end{array}\right.$，由此能求出函数g（x）的定义域．
（2）由已知得x²+mx+3＞0的解集为R，由此能求出m的取值范围．
（3）由已知得t=x²+mx+3能取遍一切正数，由此能求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）的定义域为（-2，2），
函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），
∴函数g（x）的定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x-1＜2}\\{-2＜3-2x＜2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$，
∴函数g（x）的定义域为（$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$）．
（2）∵f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的定义域为R，
∴x²+mx+3＞0的解集为R，
∴△=m²-12＜0，解得-2$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
∴m的取值范围是（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
（3）∵f（x）=log₂${\;}^{{x}^{2}+mx+3}$的值域为R，
∴t=x²+mx+3能取遍一切正数，
∴△=m²-12≥0，
解得m$≤-2\sqrt{3}$，或m$≥2\sqrt{3}$．
∴m的取值范围是（-$∞，-2\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域的求法，考查实数取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．