Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{5}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线${C_2}：{ρ^2}+4ρcosθ-2ρsinθ+4=0$．
（Ⅰ）写出曲线C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C₁的左焦点且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交曲线C₂于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），将其代入曲线C₂整理可得：${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，利用参数的几何运用求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{5}cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.⇒{（\frac{x}{{2\sqrt{5}}}）^2}+{（\frac{y}{2}）^2}=cos{\;}^2α+{sin^2}α=1$…（1分）
即C₁的普通方程为$\frac{x^2}{20}+{\frac{y}{4}^2}=1$．…（3分）
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C₂可化为 x²+y²+4x-2y+4=0，…（3分）
即（x+2）²+（y-1）²=1．…（4分）
（Ⅱ）曲线C₁左焦点为（-4，0），…（5分）
直线l的倾斜角为$α=\frac{π}{4}$，$sinα=cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（6分）
所以直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），…（7分）
将其代入曲线C₂整理可得：${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，…（8分）
所以△=${（-3\sqrt{2}）^2}-4×4=2＞0$．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=3\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$．…（9分）
所以$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（3\sqrt{2}）}^2}-4×4}=\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．