Question

1．在极坐标系中，射线l：θ=$\frac{π}{6}$与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）射线l：θ=$\frac{π}{6}$与圆C：ρ=2交于点A（2，$\frac{π}{6}$），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）设F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），E（0，-1），求出相应的向量，即可求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）射线l：θ=$\frac{π}{6}$与圆C：ρ=2交于点A（2，$\frac{π}{6}$），点A的直角坐标（$\sqrt{3}$，1）；
椭圆Γ的方程为ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；
（Ⅱ）设F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
∵E（0，-1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$cosθ-$\sqrt{3}$，sinθ-1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=-3cosθ+3-2（sinθ-1）=$\sqrt{13}$sin（θ+α）+5，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范围是[5-$\sqrt{13}$，5+$\sqrt{13}$]．

点评 本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．