Question

7．已知函数f（x）=|x-a|-|x-4|（x∈R，a∈R）的值域为[-3，3]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≤2m-m²，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为：|a-4|=3，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到-3≤2m-m²，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）对于任意x∈R，
f（x）=|x-a|-|x-4|∈[-|a-4|，|a-4|]，
可知|a-4|=3，解得：a=1或a=7；
（Ⅱ）依题意有-3≤2m-m²，
即m²-2m-3≤0，
解得：m∈[-1，3]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查二次不等式的解法，是一道基础题．