Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，0＜x≤{e}^{3}}\\{-x+{e}^{3}+3，x＞{e}^{3}}\end{array}\right.$，存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}$的最大值为$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，得出x₁，x₂，x₃的关系和范围，从而计算出答案．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
∴1$＜{x}_{2}＜{e}^{3}$，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（1，e³），则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当e＜x＜e³时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）上单调递增，在（1，e³）上单调递减，
∴当x=e时，g（x）取得最大值g（e）=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$的最大值为$\frac{1}{e}$．
故答案为$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，找出x₂的范围，构造函数g（x）是关键，属于中档题．