Question

17．已知函数f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-ωx）+2sin（$\frac{π}{3}$-ωx）（ω＞0，x∈R），若f$（\frac{π}{6}）$+f$（\frac{π}{2}）$=0，且f（x）在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$上递减．
（1）求f（0）的值；     
（2）求ω；
（3）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）利用解析式，即可求f（0）的值；     
（2）利用辅助角公式化积，求出复合函数的减区间，再由f（x）在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$上单调递减，列不等式求得ω的范围，继而得出$\frac{π}{3}ω$+$\frac{π}{3}$=kπ，从而可求ω的值； 
（3）根据解析式，即可解不等式f（x）≥1．

解答 解：（1）f（0）=2cos$\frac{π}{2}$+2sin$\frac{π}{3}$-=$\sqrt{3}$；
（2）f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-ωx）+2sin（$\frac{π}{3}$-ωx）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，取k=0，得：$\frac{π}{6ω}≤x≤\frac{7π}{6ω}$
由于f（x）在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6ω}≤\frac{π}{6}}\\{\frac{7π}{6ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∵f$（\frac{π}{6}）$+f$（\frac{π}{2}）$=0，
∴x=$\frac{π}{3}$为f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的一个中心的横坐标，
∴$\frac{π}{3}ω$+$\frac{π}{3}$=kπ，则ω=3k-1，k∈Z，
又1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∴ω=2．
（3）由2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1，可得$\frac{π}{6}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5}{6}π$+2kπ，
∴$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴不等式的解集为{x|$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．