Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则tanα与α的关系为（　　）

• A、tanα＞α
• B、tanα＜α
• C、tanα=α
• D、tanα与α的关系不确定

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．

解答： 解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在（π，

3π

2

）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），
当x∈（π，

3π

2

）时，f（x）=|sinx|=-sinx，
此时f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
所以-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
故选：C．

点评：本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，三角函数的图象与性质，综合性强，难度大，属于难题．