Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|：|$\overrightarrow{b}$|：|$\overrightarrow{c}$|=2：k：3（k∈N^*），且$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$），若α为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夹角，则cosα的值为-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 先由$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）得到3$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$，两边平方，化简整理得到cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$，根据-1≤cosα≤1，得到$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$，再根据k∈N^*，得到k=2，代入即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|：|$\overrightarrow{b}$|：|$\overrightarrow{c}$|=2：k：3（k∈N^*），
设|$\overrightarrow{a}$|=2m，|$\overrightarrow{b}$|=km，|$\overrightarrow{c}$|=3m，m为大于零的常数，
∵$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$），
∴3$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$，
∴（3$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$）²，
∴9$\overrightarrow{b}$²=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=$\overrightarrow{a}$²+4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|cosα+4$\overrightarrow{c}$²，
∴9k²=4+24cosα+36，
∴cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$，
∵-1≤cosα≤1，
∴-1≤$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$≤1，
解得$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$，
∵k∈N^*，
∴k=2，
∴cosα=$\frac{36-40}{24}$=-$\frac{1}{6}$，
故答案为：-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，向量的夹角公式，以及余弦函数的性质，属于中档题．