Question

9．已知等比数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，且a₁+a₇=9，a₄=2$\sqrt{2}$，则S₈=（　　）

• A． 15（1+$\sqrt{2}$）
• B． 15（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． 15（$\sqrt{2}$-1）或15（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． 15（1+$\sqrt{2}$）或15（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 由已知a₁，a₇分别是方程x²-9x+8=0的两根，由此解方程求出a₁，a₇，再利用等比数列通项公式求出首项与公比，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，且a₁+a₇=9，a₄=2$\sqrt{2}$，
∴由${a_4}=2\sqrt{2}$，得${a_1}{a_7}={a_4}^2=8$．
∴a₁，a₇分别是方程x²-9x+8=0的两根．
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_7}=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_7}=1.\end{array}\right.$，
∵等比数列{a_n}的各项都为正数，∴公比q＞0．
当$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_7}=8\end{array}\right.$时，$q=\sqrt{[}6]{{\frac{a_7}{a_1}}}=\sqrt{2}$，
∴${S_8}=\frac{{1×[{1-{{（{\sqrt{2}}）}^8}}]}}{{1-\sqrt{2}}}=15（{1+\sqrt{2}}）$；
当$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_7}=1.\end{array}\right.$时，$q=\sqrt{[}6]{{\frac{a_7}{a_1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴${S_8}=\frac{{8×[{1-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^8}}]}}{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=15（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．
故选：D．

点评 本题考查等比数列的前8项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．