Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，其中一个顶点坐标为 （0，2），则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由椭圆性质得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆的方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，其中一个顶点坐标为 （0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．