Question

【题目】已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________

Answer 1

【答案】

【解析】

令，则原方程化为，当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分；当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）；再结合图象借助直线与圆和双曲线的位置关系分类讨论即可得出结论．

解：∵方程有两个不同的解，令，则，

则原方程化为，

当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分，

当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点），

作出图象得，

∵等轴双曲线渐近线为，

∴直线与双曲线最多有一个交点，

∴直线与半圆至少有一个交点，

∴，得，

（1）当时，直线与半圆相切，有1个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有两个不同的解；

（2）当时，直线与半圆相交，有2个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有三个不同的解，不合题意；

（3）当时，直线与半圆有2个交点和，与双曲线没有交点，故原方程有两个不同的解；

（4）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意；

（5）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线有1个交点，故原方程有两个不同的解；

（6）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意；

（7）当时，直线与半圆没有交点，与双曲线也没有交点，故原方程没有解，不合题意；

综上，实数的取值范围是，

故答案为：．