题目内容
【题目】如图,菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,以对角线BD为折痕把△ABD折起,使点A到达如图所示点E的位置,使.
(1)求证:BD⊥EC;
(2)求三棱锥B-CE-D的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)二面角B-CE-D的余弦值为.
【解析】
(1)根据菱形的对角线相互垂直,得到CO⊥BD且AO⊥BD,所以BD⊥平面EOC,从而得证;
(2)先证明OB,OC,OE三者两两垂直,以O为坐标原点.OB,OC,OE所在直线分别x、y、z轴建立空间直角坐标系O – xyz,求出平面BCE与平面CDE的法向量,代入公式即可得到结果.
(1)在图1中,连接A、C,设AC与BD相交于点O,由四边形ABCD为菱形可知,所以
,由图2可知
,
又,所以
平面EOC,又
平面EOC,所以
.
(2)因为四边形ABCD为菱形且,所以
为等边三角形
又,所以
.所以
.
又中,
,所以
,所以
.
又,所以
,因为
,所以
平面BDC,所以OB,OC,OE三者两两垂直.
以O为坐标原点.OB,OC,OE所在直线分别x、y、z轴建立空间直角坐标系O – xyz,
则,
.
设平面BCE的法向量为
由得
所以
令得
;
设平面CDE的法向量为,
由得
所以
令
得
;故
,
由图可知二面角B-CE-D为锐角,所以二面角B-CE-D的余弦值为
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