题目内容
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，A1D1交平面B1ED于F．（1）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C所的边长分别为a，b，c，则有以下结论成立：
若a2+b2＞c2，则∠C是锐角；
若a2+b2=c2，则∠C是直角；
若a2+b2＜c2，则∠C是钝角；
试根据上述结论作出异面直线A1C与DE所成的角，并判断其是否为直角．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：（1）作图后（1）F在A1D1上的中点；只需证明四边形B1FDE为平行四边形，即可．
（2）根据异面直线所成角的定义即可得到结论．
（2）根据异面直线所成角的定义即可得到结论．
解答：
解：（1）F为A1D1上的中点．
证明如下：取A1D1上的中点F，连接DF，ED，
∵△B1A1F≌△DCE，△DD1F≌△B1BE，
∴B1F=ED，B1=FD，
∴四边形B1FDE为平行四边形，
∴平面B1ED交A1D1于A1D1的中点F
（2）延长AD到M，取DM=EC，
连结A1M与CM，
则DE∥CM，
则CM与A1C所成的角即可异面直线A1C与DE所成的角，
∵正方体的棱长为2，
∴A1C=2
，CM=
=
，A1M=
=
，
∵CM2+A1C2=17≠A1M2，
∴异面直线A1C与DE所成的角不是直角．
解：（1）F为A1D1上的中点．证明如下：取A1D1上的中点F，连接DF，ED，
∵△B1A1F≌△DCE，△DD1F≌△B1BE，
∴B1F=ED，B1=FD，
∴四边形B1FDE为平行四边形，
∴平面B1ED交A1D1于A1D1的中点F
（2）延长AD到M，取DM=EC，
连结A1M与CM，
则DE∥CM，
则CM与A1C所成的角即可异面直线A1C与DE所成的角，
∵正方体的棱长为2，
∴A1C=2
| 3 |
| 22+1 |
| 5 |
| 22+32 |
| 13 |
∵CM2+A1C2=17≠A1M2，
∴异面直线A1C与DE所成的角不是直角．
点评：本题主要考查异面直线所成角的定义，利用平行线转化为平面角是解决本题的关键．
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